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率的公理化定1.2.4概义

频率与概率的统计定1.2.1事件的义

数学家研究了这个问题尼古拉同时代的许多，些不同的解法并给出了一。是很奇特的但其结果，竟为无限大所付的款数。拿出多少钱给乙即不管甲事先，不断地进行只要赌博，要赔钱的乙肯定是。

前目,的趋势还在不断发展.在社会科学领域概率统计理论进入其他自然科学领域,策和经济的稳定增长等问题特别是经济学中研究最优决,Laplace)说对了:“生活中最重要的问题都大量采用概率统计方法.法国数学家拉普拉斯(,济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人其中绝大多数在实质上只是概率的问题.”英国的逻辑学家和经,率的某种估计如果没有对概,就寸步难行那么我们,作为无所。

无偏性、有效性和一致性(27)判断估计量的；

学发展的一个重要成果20世纪以前数理统计，学家兼统计学家高尔顿发起是19世纪后期由英国遗传，他一些英国学者所发展的统计相关与回归理论并经现代统计学的奠基人之一K·皮尔逊和其。计相关所谓统，系如人的身高X与体重Y是指一种非决定性的关，大致的关系存在一种，大（小）时表现在X，于大（小）Y也倾向，由X并不能决定Y但非决定性的：。各种科技领域中现实生活中和，子很多这种例，与收入的关系如受教育年限，口增长速度的关系等经济发展水平与人，这种性质都是属于，种关系的程度加以量化统计相关的理论把这，有统计相关的变量而统计回归则是把，的关系的形式作近似的估计如上文的身高X和体重Y，归方程称为回，往往涉及众多变量现实世界中的现象，综复杂的关系它们之间有错，非决定性质且许多属于，理论的发明相关回归，这种关系进行定量研究的工具提供了一种通过实际观察去对，识和实用意义有着重大的认。

事件间的关系(1)确定，件的运算进行事；

及伯努利概率型的计算(7)有关独重复试验；

人口控制及预测都与概率论紧密相关例如:1.气象、水文、地震预报、；

来人过说

从数理统计学开始陈希孺院士：先，对所研究的问题作出一定的结论的科学和艺术数理统计学是研究收集数据、分析数据并据以。带有随机性（偶然性）的误差数理统计学所考察的数据都。的结论带来了一种不确定性这给根据这种数据所作出，率论的概念和方法其量化要借助于概。这两个学科的密切联系数理统计学与概率论，于这一点正是基。

机事件、样本空1.1.3随间

方差、相关系数并判断相关性(19)求两个随机变量的协；

部分考题时在解答这，的错误有考生易犯：

大小的赌博问题提出了不少诸如此类的需要计算可能性，无法给出答案但他们自己。

量的边缘分布、条件分布(14)求二维随机变；

是庄家和闲家比较所有的大小比较均，间不进行比较闲家和闲家之。

年的发展已经枝繁叶茂数学这棵大树历经多。数十位甚至上百位教授或讲师一般重点大学的数学系都会有，方向都不一样每位的研究，好比达芬奇的鸡蛋它们彼此的差异就，科的交叉和发展再加上与各种学，的新分支方向又产生了更多。为这样也正因，会如此丰富多姿数学这门学科才。

2古典概1.2.型

正态总体参数的置信区间(28)求单个或两个；

”要注意以下几个要一、学习“概率论点

进行实验设计和数据处理3.寻求最佳生产方案要；

题习一

布的定义、性质推证统计量的分布、性质(23)利用t分布、χ2分布、F分；

概率的基本性1.2.5质

随机变量函数的分布(16)求两个独立；

一门实用性极强的学科1.由于数理统计是，扣它的实际背景在学习中要紧，能解决那些实际问题.对如何处理抽样数据理解统计方法的直观含义.了解数理统计，作出合理的统计推断并根据处理的结果，要有一个总体的思维框架该结论的可靠性有多少，样这，.例如估计未知分布的数学期望学起来就不会枯燥而且容易记忆，求合适的估计量的途径就要考虑到①如何寻，计量的优劣?这样②如何比较多个估，推出矩估计和极大似然估计针对①按不同的统计思想可，计、有效估计、相合估计而针对②又可分为无偏估，称有着不同的含义因为不同的估计名，以满足上面的每一个一个具体估计量可，了寻求估计的统计思想也可能不满足.掌握，往往是“套路子”的具体寻求估计的步骤，困难并不，从根本上理解然而如果没有，往会出现各种错误仅死背套路子往。

长问题时提出了生灭型随机模型8.在生物学中研究群体的增，多变量非线性生灭过程传染病流行问题要用到；

不同可取不同值随着试验结果的，能根据随机试验予以确定的但是它取某一区间的概率又，只是它的取值范围而我们关心的通常，轴上任一B即对于实，(X∈B)计算概率P，有理解了随机变量的内涵即随机变量X的分布.只，机事件的互不相容和相互独立两个概念通常会混淆下面的概念如分布函数等等才能真正理解.又如随，的运算性质前者是事件，的概率性质后者是事件，有一定联系但它们又，P(B)>如果P(A)·;0，A则，相容.类似地B独立则一定，念的联系与差异一定要真正搞懂如随机变量的独立和不相关等概。

自天文和测地学中的误差分析问题数理统计学的另一个重要源头来。期早，的精度不高测量工具，量测获取更多的数据人们希望通过多次，的精度更高的估计值以便得到对量测对象。有随机性量测误差，即统计的方法处理适合于用概率论，过这方面的工作远至伽利略就做，态作了一般性的描述他对测量误差的性，这个问题进行了长时间的研究法国大数学家拉普拉斯曾对，的“拉普拉斯分布”现今概率论中著名，究中的一个产物即是他在这研，德19世纪初（1805）在研究慧星轨道计算时发明的“最小二乘法”这方面最著名且影响深远的研究成果有二：一是法国数学家兼天文家勒让，子午线长这一工作中他在估计过巴黎的，这个方法曾使用。法的发明归功于高斯现今著作中把这一方，早见诸文字是1809年但高斯使用这一方法最，让德晚比勒。这项发明系由二人独立做出一种现在逐步取得公认——，较妥当的看来使比。究行星绕日运动时提出用正态分布刻画测量误差的分布另外一个重要成果是德国大学者高斯1809年在研。称为高斯分布正态分布也常，是钟形其曲线，带桥那样的形状极象颐和园中玉，“钟形曲线”故有时又称为，情况：天下形形色色的事物中它反映了这样一种极普通的，头小“两，”的居多中间大，的身高如人，的都不多太高太矮，占多数——当然而居于中间者，极粗略的描述这只是一个，确的描述要作出准，数学的知识须动用高等。成为其广泛应用的根据正是其数学上的特性。

幅很小的著作这是一本篇，为8个表主要内容，的观点看从今天，的数据整理工作这只是一种例行，原创性的科研成果但在当时则是有，的一些概念其中所提出，可以说沿用至今在某种程度上，的、杂乱无章的数据如数据简约（大量，理、约化须注过整，）、频率稳定性（一定的事件才能突出其中所包含的信息，、“生女”如“生男”，个基本稳定的比率在较长时期中有一，错、生命表（反映人群中寿命分布的情况这是进行统计性推断的基础）、数据纠，算的基础概念）等至今仍是保险与精。

证明概率等式或计算概率(3)利用概率的性质；

词]建[关键议

为理论严谨概率论作，正日益受到人们的重视应用广泛的数学分支，的发展而得到发展并将随着科学技术。

们之后在他，数学家族——贝努利家族的几位成员对概率论这一学科做出贡献的是瑞士。前人研究的基础上雅可布·贝努利在，中的其他问题继续分析赌博，问题”的详尽解法给出了“赌徒输光，数定律”的一个定理并证明了被称为“大，典概率论中的极其重要的结果这是研究等可能性事件的古。现过程是极其困难的大数定律证明的发，的实验计算他做了大量，到这一事实首先猜想，这一猜想的证明然后为了完善，20年的时光雅可布花了。倾注到这一数学研究之中雅可布将他的全部心血，了不少新方法从中他发展，多新成果取得了许，定理证实终于将此。

系统的设计4.电子,射都离不开可靠性估计火箭卫星的研制与发；

希孺院士记者：陈，计学学科的诞生和发展情况请你谈谈概率论与数理统。

的抽样验收2.产品，否在临床中应用新研制的药品能，到假设检验均需要用；

别是正态总体统计量)的分布(24)推证某些统计量(特；

发端于赌博概率论虽，中找到多方面的应用但很快在现实生活，保险精算等方面首先是在人口、，干里程碑的《机遇的原理》在其发展过程中出现了若，于1756年其第三版发表，斯的《分析概率论》法国大数学家拉普拉，812年发表于1，哥洛夫完成了概率论的公理体系1933年苏联教学家柯尔莫，的公理之下在几条简洁，整座的宏伟建筑发展出概率论，系之下发展出整部几何有如在欧几里得公理体。以来自那，数学的一个重要分支概率论成长为现代，和抽象的数学理论使用了许多深刻，影响下在其，益向深化的方向发展数理统计的理论也日。

数的矩估计量和极大似然估计量(26)求总体分布中未知参；

率概，几率又称，然率或，况出现可能性的大小指一种不确定的情，如例，个硬币投掷一，朝上）是一个不确定的情况“出现国徽”（国徽一面。投掷前因为，“出现国徽”）发生与否我们无法确定所指情况（，投掷有充分的高度若硬币是均匀的且，现机会均等则两面的出，”的概率是1/2我们说“出现国徽；时同，均匀骰子投掷一个，的概率是1/6“出现4点”，似的简单情况外除了这些以及类，算不容易概率的计，理论上的假定往往需要一些，用经验的方法确定概率在现实生活中则往往，区有N人例如某地，种疾病者有M人查得其中患某，种疾病的概率为M/N则称该地区的人患该，法对发病概率的一个估计这事实上是使用统计方。

题”曾引起热烈的讨论当时有一个“分赌本问，年才得到正确的解决并经历了长达一百多。论一些重要的基本概念在这过程中孕育了概率，情况：甲、乙二人赌博举该问题的一个简单，注30元各出赌，0元共6，胜的机会均等每局甲、乙，1/2都是。他赢得全部赌注60元约定：谁先胜满3局则，完3局现已赌，胜1负甲2，中断赌情而因故，该如何分给2人问这60元赌注，公平才算，按2：1分配初看觉得应，40元即甲得，20元乙得，一些另外的解法还有人提出了，不正确结果都，在这基础上继续赌下去正确的分法应考虑到如，胜的机会如何甲、乙最终获，即可分出胜负至多再赌2局，甲甲、甲乙、乙甲、乙乙这2局有4种可能结果：。是甲最后取胜前3种情况都，情况才是乙取胜只有最后一种，为3：1二者之比，应按3：1的比例故赌注的公平分配，45元即甲得，5元乙1。

1随机现1.1.象

论研究群体历经三代人北京师范大学的概率，的传统和积累已有40年，辉、王凤雨等著名的专家学者拥有陈木法、李增沪、张余。志誉为“马氏过程的中国学派”或“北京学派”这一研究群体被国际上的两个主要数学评论杂。统、随机分析、测度值马氏过程等主要研究方向有交互作用粒子系。、东北师范大学、武汉大学、华中科技大学、中国科学技术大学等概率论和数理统计学科实力较强的院校还有南开大学、中南大学。

量及其概率分第2章随机变布

计学的发展状况时在上面讲述数理统，所起的促进作用方面我们着重在实际需要，是数理统计学的理论基础由于概率论的概念和方法，理统计学的发展起促进作用概率论的进展也必然对数。

服务系统9.许多，候诊、存货控制、可用一类概率模型来描述如电话通信、船舶装卸、机器维修、病人，识就是排队论其涉及到的知。

来的欧洲流行的用骰子赌博概率的概念起源于中世纪以，不难理解这一点，要能够体察并引起研究的兴趣某种情况出现可能性的大小，发生与否（在多次重复下出现较频繁的情况有更大的概率）必须满足两个条件：一是该情况可以在多次重复中被观察其，利益有关或为其兴趣关注之所在一是该情况发生与否与当事人的，满足这些条件用骰子赌博。

(12)确定二维随机变量的分布(11)求随机变量函数的分布；

论与数理统计怎样学“概率”

研究生入学统一考试数学考试大纲》的要求参照2009年教育部颁布的《全国硕士，理类专业的需要并考虑到经济管，有拓宽与加深．在第3章将条件分布单独编写为一节本书在现行经济管理类数学教学基本要求的基础上略，了更加深入系统的论述．在第7章对两个随机变量的函数的分布进行，计．第9章回归分析中加入了多元线性回归的内容特意编入了两个正态总体均值差、方差比的区间估。主编并编写第1、5、9章）本书由谢安教授组织编写（，3、4、8章）、雷孟京副教授（编写第6、7章）参加编写的还有李冬红副教授（主编并编写第2、。的水平有限由于编者，当和错误之处书中难免有不，同行不吝指正敬请读者和。11年12编者20月

收集数据的活动统计学起源于，人的事情小至个，一个国家大至治理，种种有关的数据都有必要收集，古代典籍中如在我国，、地震、水灾和旱灾等等的记载就有不少关于户口、钱粮、兵役。计局或相当的机构现今各国都设有统。然当，并不能等同于统计学这门科学的建立单是收集、记录数据这种活动本身，据进行排比、整理需要对收集来的数，目的形式表达用精炼和醒，行定量或定性估计、描述和解释在这个基础上对所研究的事物进，可能的发展状况并预测其在未来。的资料对我国人口状况进行描述例如根据人口普查或抽样调查，抽样调查结果根据适当的，与收入的关系对受教育年限，烟）与健康的关系作定量的评估对某种生活习惯与嗜好（如吸。某些经济指标的变化情况根据以往一般时间某项或，般时间的走向等预测其在未来一，的理论与方法做这些事情，—数理统计学的内容才能构成一门学问—。

式和性质进行综合分析、运算和证明(6)不能正确应用有关的定义、公。

简介图书：

机事件的概1.2随率

张牌凑成10或20或30的整数一、若庄家和闲家都无法使用3，均为没牛牌即庄闲两家，中最大一张牌的比较则此时进行5张牌，J-10-9……A大小次序为K-Q-，则根据花色进行比较若最大一张牌也相同，红桃、草花、方片大小次序为黑桃、。

公式与贝叶斯公1.4全概率式

气都或缺祝赢点欢乐玩玩点经验技术运豆

量函数的数学期望(18)求随机变；

用独立性去证明和计算(4)不能熟练地运；

数学基础系列教材之一本书作为经济管理类，率论与数理统计的基本内容以深入浅出的方式介绍了概，容的思想方法．本书的另外一个特色是并着重介绍概率论与数理统计中主要内，一些背景知识或概率论与数理统计的应用实例在每章的内容中穿插介绍了与本章内容有关的，率统计内容的了解旨在加深读者对概，读视野扩大阅，分析能力的培养加强对实际问题，．本书每章的例题、习题都经过精心设计与编选以利于读者对基本理论与基本方法的掌握与应用，计在经济中应用的例题增加了概率论与数理统，适中的考研真题编入了部分难度，及日常生活有关的习题以及一些与最新科技，决问题的能力以提高读者解。

在现，础的数理统计学科一起概率论与以它作为基，然科学在自，科学社会，技术工程，领域中都起着不可或缺的作用军事科学及工农业生产等诸多。

2随机试1.1.验

重伯努利概1.5n型

泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等计算概率(10)利用常见的概率分布(例如(0-1)分布、二项分布、；

也有许多习题4.概率论中，要为解题而解题在解题过程中不，的概念及解题的目的而应理解题目所涉及，已学过.因此概率论学习的关键不在于做许多习题至于具体计算中的某些技巧基本上在高等数学中都，解题的思路上去.这样往往能“事半功倍”而要把精力放在理解不同题型涉及的概念及。

要抓住对概念的引入和背景的理解1.在学习“概率论”的过程中，随机变量”这一概念例如为什么要引进“。一个抽象过程这实际上是。个苹果加2个苹果等于3个苹果正如小学生最初学数学时总是一，体的随机试验中的具体随机事件然后抽象为1+2=3.对于具，算其概率可以计，是局部的但这毕竟，立的孤，不同样本空间予以统一能否将不同随机试验的，使原先不同随机试验的随机事件的概率都可转化为随机变量落在某一实数集合B的概率并对整个随机试验进行刻画?随机变量X(即从样本空间到实轴的单值实函数)的引进，量来刻画.此外若对一切实数集合B不同的随机试验可由不同的随机变，机试验进行了全面的刻画.它的研究成了概率论的研究中心课题.故而随机变量的引入是概率论发展历史中的一个重要里程碑.类似地知道P(X∈B).那么随机试验的任一随机事件的概率也就完全确定了.所以我们只须求出随机变量X的分布P(X∈B).就对随，定义的引进概率公理化，连续型随机变量的分类分布函数、离散型和，念的引进都有明确的背景随机变量的数学特征等概，深入理解体会在学习中要。

随机事1.1件

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理统计的概念、方法、理论及其应用本书全面、系统地论述了概率与数。分9章全书共，计两大部分组成由概率和数理统。理统计部分包括：数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、回归分析．每章都配有一定数量的习题．概率部分的习题分为A、B两类概率部分包括：随机事件与概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理．数，证明、应用题A类是计算、；选择、判断题B类是填空、。题的参考答案书后附有习。教学实践的基础上本书是作者在多年，定的“经济管理类本科数学基础教学基本要求”参照教育部非数学专业教学指导委员会最新制，考试数学考试大纲》中概率论与数理统计全部内容涵盖教育部最新颁布的《全国硕士研究生入学统一，华编写而成．全书内容完整汲取国内外其他同类教材精，简洁、合理论述清晰、，编选恰当例题习题，等学校经济管理类专业的教材或教学参考书而且经过了多次教学检验．本书可作为高，研究生的考生参考也非常适合报考。

关系进行概率计算(2)利用事件的；

此为著名的德·梅耳问题这是什么原因呢？后人称。“分赌注问题”又有人提出了：

通信问题5.处理,究信息需要研论

密度的定义、性质确定其中的未知常数或计算概率(8)利用随机变量的分布函数、概率分布和概率；

验求随机变量的分布(9)由给定的试；

定赌若干局两个人决，得6局便算赢家事先约定谁先赢。个人赢3局如果在一，时因故终止赌博另一人赢4局，分赌本应如何？